16. Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

1 Ιούνιος 2026

Τροποποιημένο

2 Ιούνιος 2026

1 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του

1.1 Θεωρία

Ένα γραμμικό σύστημα (ή σύστημα δύο εξισώσεων πρώτου βαθμού με δύο αγνώστους) αποτελείται από δύο εξισώσεις της μορφής \(ax + \beta y = \gamma\) και \(a'x + \beta'y = \gamma'\).

Λύση του συστήματος ονομάζεται κάθε διατεταγμένο ζεύγος αριθμών \((x, y)\) που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις του.

1.1.1 Η Έννοια της Γραφικής Επίλυσης

Κάθε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους παριστάνεται γεωμετρικά από μία ευθεία γραμμή στο επίπεδο των συντεταγμένων. Η γραφική επίλυση ενός συστήματος βασίζεται στην κατασκευή αυτών των δύο ευθειών (\(\epsilon_1\) και \(\epsilon_2\)) στο ίδιο σύστημα αξόνων.

Το κοινό σημείο των δύο ευθειών, εάν υπάρχει, έχει συντεταγμένες που αποτελούν την κοινή λύση των δύο εξισώσεων, δηλαδή τη λύση του συστήματος.

1.1.2 Πιθανές Περιπτώσεις και Θεωρία

Ανάλογα με τη σχετική θέση των δύο ευθειών στο επίπεδο, ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να έχει μία λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις:

  1. Μοναδική Λύση: Οι δύο ευθείες τέμνονται σε ένα μόνο σημείο. Αυτό συμβαίνει όταν οι συντελεστές των αγνώστων δεν είναι ανάλογοι μεταξύ τους \(\left(\dfrac{a}{a'} \neq \dfrac{\beta}{\beta'}\right)\), δηλαδή οι ευθείες έχουν διαφορετικό γωνιακό συντελεστή.


  2. Καμία Λύση (Αδύνατο Σύστημα): Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Αυτό συμβαίνει όταν οι λόγοι των συντελεστών των αγνώστων είναι ίσοι, αλλά διαφορετικοί από τον λόγο των σταθερών όρων \(\left(\dfrac{a}{a'} = \dfrac{\beta}{\beta'} \neq \dfrac{\gamma}{\gamma'}\right)\).


  3. Άπειρες Λύσεις (Αόριστο Σύστημα): Οι δύο ευθείες συμπίπτουν. Αυτό συμβαίνει όταν όλοι οι λόγοι των συντελεστών και των σταθερών όρων είναι ίσοι μεταξύ τους \(\left(\dfrac{a}{a'} = \dfrac{\beta}{\beta'} = \dfrac{\gamma}{\gamma'}\right)\).


1.2 Παραδείγματα

  • Παράδειγμα Μοναδικής Λύσης: Στο σύστημα εξισώσεων \(2x + 3y - 12 = 0\) και \(3x - 2y - 5 = 0\), οι αντίστοιχες ευθείες τέμνονται στο σημείο \(M(3, 2)\). Το ζεύγος \((3, 2)\) είναι η μοναδική λύση του συστήματος. Ένα άλλο παράδειγμα είναι το σύστημα \(2x + y = 10\) και \(5x - 2y = -2\), όπου οι ευθείες τέμνονται στο σημείο με συντεταγμένες \(x=2\) και \(y=6\).
  • Παράδειγμα Αδύνατου Συστήματος: Θεωρούμε το σύστημα \(x - 2y = 1\) και \(3x - 6y = 8\). Εδώ παρατηρούμε ότι \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{-2}{-6} \neq \dfrac{1}{8}\), επομένως οι ευθείες είναι παράλληλες και το σύστημα δεν έχει λύση.
  • Παράδειγμα Αόριστου Συστήματος: Στο σύστημα \(x - 2y = 5\) και \(3x - 6y = 15\), ισχύει \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{-2}{-6} = \dfrac{5}{15}\). Οι δύο ευθείες συμπίπτουν και το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Η γραφική επίλυση προσφέρει μια εποπτική εικόνα του συστήματος, αλλά η ακρίβειά της εξαρτάται από την ποιότητα της κατασκευής των γραμμών και τη δυνατότητα ακριβούς μέτρησης των συντεταγμένων του σημείου τομής.

1.3 Ασκήσεις

  1. Αν οι εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος παριστάνονται με τις ευθείες \(\color{#17612b}{\mathbf{ε_1}}\) και \(\color{#17612b}{\mathbf{ε_2}}\), να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις αναμέσα στις δύο στήλες ώστε να είναι σωστές.
Αντιστοίχιση
Το σύστημα έχει μία λύση οι ευθείες είναι παράλληλες
Το σύστημα είναι αόριστο οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο
Το σύστημα είναι αδύνατο οι ευθείες συμπίπτουν - ταυτίζονται
  1. Να λύσετε γραφικά τα συστήματα

  1. \(\begin{cases} 2x + y = 10 \\ 5x - 2y = -2 \end{cases}\) .

  2. \(\begin{cases} 2x + 3y - 12 = 0 \\ 3x - 2y - 5 = 0 \end{cases}\)

  3. \(\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x - 6y = 8 \end{cases}\).

  4. \(\begin{cases} \mathbf{2x - \psi + 4 = 0} \\ \mathbf{x - \dfrac{\psi}{2} + 2 = 0} \end{cases}\)

  5. \(\begin{cases} \mathbf{2x - 5\psi = 10} \\ \mathbf{-x + \dfrac{5}{2}\psi = -5} \end{cases}\)

  6. \(\begin{cases} x - \psi = 4 \\ 3x - 3\psi + 6 = 0 \end{cases}\).

  7. \(\begin{cases} x - 3\psi = 6 \\ x + \psi = 10 \end{cases}\) .

  8. \(\begin{cases} 2x + \psi = 5 \\ x - \psi = 1 \end{cases}\) .

  9. \(\begin{cases} \mathbf{\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = \dfrac{1}{6}} \\ \mathbf{\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{8} = \frac{3}{5}} \end{cases}\)

  10. \(\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x - 6y = 15 \end{cases}\).

  1. \(\begin{cases} x + \psi = 3 \\ 2x + 2\psi - 6 = 0 \end{cases}\).

  2. \(\begin{cases} \mathbf{\frac{x}{3} - \dfrac{\psi}{2} = 1} \\ \mathbf{2x - 5\psi = -2} \end{cases}\)

  3. \(\begin{cases} \mathbf{\frac{x}{5} - \dfrac{\psi}{3} = \frac{3}{5}} \\ \mathbf{\frac{x}{5} + \frac{\psi}{3} = \frac{21}{5}} \end{cases}\)

  4. \(\begin{cases} 2x - 3\psi + 6 = 0 \\ -4x + 6\psi - 12 = 0 \end{cases}\).

  5. \(\begin{cases} x + 2y + 4 = 0 \\ 3x - y - 9 = 0 \end{cases}\)

  6. \(\begin{cases} 3x + \psi - 6 = 0 \\ 6x + 2\psi + 9 = 0 \end{cases}\).

  7. \(\begin{cases} x + y - 2 = 0 \\ 2x + 2y + 7 = 0 \end{cases}\).

  8. \(\begin{cases} x - 2y = 3 \\ -2x + 4y - 6 = 0 \end{cases}\).

  9. \(\begin{cases} 4x - 6y - 12 = 0 \\ 2x - 3y - 6 = 0 \end{cases}\).

  10. \(\begin{cases} 4x + 3y + 6 = 0 \\ 4x + 3y + 4 = 0 \end{cases}\).

  1. Πρόβλημα με δοχεία νερού

Στο διάγραμμα φαίνεται η ποσότητα νερού (y) (σε λίτρα) που υπάρχει σε δύο δοχεία Α και Β σε σχέση με τον χρόνο (x) (σε λεπτά).

  • Το δοχείο Α γεμίζει με 2 L ανά λεπτό.
  • Το δοχείο Β γεμίζει με 1 L ανά λεπτό.

Να βρεθούν:

α) Η αρχική ποσότητα νερού σε κάθε δοχείο.

β) Ο ρυθμός με τον οποίο γεμίζει κάθε δοχείο.

γ) Μετά από πόσα λεπτά τα δύο δοχεία θα έχουν την ίδια ποσότητα νερού;

δ) Πόσα λίτρα νερού θα περιέχει τότε το καθένα;

  1. Πρόβλημα με συνδρομές βιβλιοθήκης

Μια δημοτική βιβλιοθήκη προσφέρει τρεις τρόπους δανεισμού βιβλίων:

  • Πρόγραμμα Α: 4 € για κάθε βιβλίο που δανείζεται κάποιος.
  • Πρόγραμμα Β: Ετήσια συνδρομή 20 € και 2 € για κάθε βιβλίο.
  • Πρόγραμμα Γ: Ετήσια συνδρομή 50 € και δωρεάν δανεισμός βιβλίων.

Να βρεθούν:

α) Σε ποια ευθεία αντιστοιχεί κάθε πρόγραμμα.

β) Για πόσα βιβλία το κόστος των προγραμμάτων Α και Β είναι το ίδιο;

γ) Αν κάποιος δανειστεί 12 βιβλία, ποιο πρόγραμμα είναι οικονομικότερο;

δ) Αν κάποιος δανειστεί 8 βιβλία, ποιο πρόγραμμα συμφέρει περισσότερο;

ε) Ποιο πρόγραμμα θα διάλεγες αν γνώριζες εκ των προτέρων ότι θα δανειστείς περισσότερα από 20 βιβλία μέσα στη χρονιά;

στ) Αν δανειστείς 15 βιβλία ποιο πρόγραμμα θα διάλεγες;

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!